La distribución normal

En este capítulo

Comprender la distribución normal y la distribución normal estándar

Ir de principio a fin al buscar probabilidades normales

Ir hacia atrás para encontrar percentiles

En tus viajes estadísticos te encontrarás con dos grandes tipos de variables aleatorias: discretas y continuas. Las variables aleatorias discretas básicamente cuentan cosas (número de caras en diez lanzamientos de una moneda, número de mujeres demócratas en una muestra, etc.). La variable aleatoria discreta más conocida es la variable binomial (en el capítulo 8 encontrarás más información sobre las variables aleatorias discretas y las variables binomiales). Una variable aleatoria continua generalmente se basa en mediciones; puede abarcar un número de valores infinito no numerable (valores incluidos en un intervalo de la línea real) o puede tener tantos valores posibles como para considerarla continua (por ejemplo, el tiempo necesario para completar una tarea, las notas de un examen, etc.).

En este capítulo te explico y te enseño a calcular las probabilidades para la variable aleatoria continua más famosa de todos los tiempos: la distribución normal. También aprenderás a encontrar percentiles para la distribución normal (te dan una probabilidad en forma de porcentaje y tienes que averiguar el valor de X asociado a ella). Y piensa en lo graciosa que sería una camiseta donde pusiera “Los estadísticos son gente normal”.

Fundamentos de la distribución normal

Una variable aleatoria continua X tiene una distribución normal si sus valores forman una curva continua acampanada. Cada distribución normal tiene su propia media, designada con la letra griega μ (se lee “mu”), y su propia desviación estándar, designada con la letra griega σ (se lee “sigma”). Pero con independencia de cuál sea la media y la desviación estándar, todas las distribuciones normales tienen la misma forma básica de campana. La figura 9-1 muestra algunos ejemplos de distribuciones normales.

Todas las distribuciones normales tienen ciertas propiedades. Estas propiedades sirven para determinar la posición relativa de un resultado en concreto dentro de la distribución, y para encontrar probabilidades. Las propiedades de una distribución normal son las siguientes:

Su forma es simétrica (es decir, si la cortas por el centro, la mitad izquierda es la imagen especular de la mitad derecha).

Su distribución muestra una elevación en el centro, con colas que bajan por ambos lados.

La media y la mediana son iguales y se encuentran exactamente en el centro de la distribución (debido a la simetría).

Su desviación estándar es la distancia entre la media y el punto de inflexión (el lugar donde la curva pasa de ser convexa a cóncava).

Debido a su característica forma acampanada, las probabilidades de la distribución normal cumplen la regla empírica (de la que
encontrarás más información en el capítulo 5), que dice lo siguiente:

• Aproximadamente el 68 % de sus valores se encuentran a no más de una desviación estándar respecto de la media. Para encontrar este rango, coge el valor de la desviación estándar y a continuación busca la media más esa cantidad y la media menos esa cantidad.
• Aproximadamente el 95 % de sus valores se encuentran a no más de dos desviaciones estándares respecto de la media (en este caso coges dos veces la desviación estándar y luego sumas y restas esa cantidad desde la media).
• Casi todos sus valores (aproximadamente el 99,7 % de ellos) se encuentran a no más de tres desviaciones estándares respecto de la media (coge tres veces la desviación estándar y luego sumas y restas esa cantidad desde la media).

Es posible hallar probabilidades exactas para todos los intervalos de valores posibles en la distribución normal (no sólo para los que se
encuentren a no más de 1, 2 o 3 desviaciones estándares respecto de la media) utilizando una tabla y sin realizar apenas ningún
cálculo. (En el siguiente apartado encontrarás información detallada sobre esta tabla.)

Vuelve a mirar la figura 9-1. Si comparas las tres distribuciones mostradas en las figuras 9-1a, b y c, verás que todas ellas son simétricas y tienen la forma acampanada característica. Los ejemplos de la figura 9-1a y la figura 9-1b tienen la misma desviación estándar pero medias diferentes, y la figura 9-1b se encuentra 30 unidades a la derecha de la figura 9-1a (la diferencia entre una media de 120 y otra de 90). Las figuras 9-1a y c tienen la misma media (90), pero la figura 9-1a presenta más variabilidad que la figura 9-1c debido a que su desviación estándar es mayor (30, en comparación con 10). Debido a la mayor variabilidad, los valores de la figura 9-1a van desde 0 hasta 180 (aproximadamente), mientras que

los valores de la figura 9-1c sólo van desde 60 hasta 120.

Por último, las figuras 9-1b y c tienen diferentes medias y diferentes desviaciones estándares. La figura 9-1b tiene una media más alta que la desplaza hacia la derecha, y la figura 9-1c tiene una desviación estándar más pequeña, de manera que sus valores son los que están más concentrados en torno a la media.

Es importante fijarse en la media y en la desviación estándar para poder interpretar correctamente los números de una distribución normal. Por ejemplo, puedes comparar dónde se encuentra el número 120 en cada una de las distribuciones normales de la figura 9-1. En la figura 9-1a, el número 120 se encuentra una desviación estándar por encima de la media (como la desviación estándar es 30, resulta 90+1×30=120). Así pues, en esta primera distribución el número 120 es el valor más alto del rango donde se encuentran aproximadamente el 68% de los datos, según la regla empírica (puedes volver al capítulo 5).

En la figura 9-1b, el número 120 se encuentra exactamente en la media, el lugar donde los valores están más concentrados. En la figura 9-1c, el número 120 se encuentra casi en el extremo de la derecha, tres desviaciones estándares por encima de la media (como en este caso la desviación estándar es 10, resulta 90+3 [10]=120). En la figura 9-1c es muy improbable encontrar valores más altos que 120 porque estarían fuera del rango donde deben encontrarse aproximadamente el 99,7% de los valores, según la regla empírica.

La distribución normal estándar (distribución Z)

Un miembro muy especial de la familia de distribuciones normales es la distribución normal estándar, también llamada distribución Z. La distribución Z ayuda a encontrar probabilidades y percentiles para el resto de las distribuciones normales (X). Sirve como referencia para el resto de distribuciones normales.

Particularidades de la distribución Z

La distribución Z es una distribución normal en la que la media es 0 y la desviación estándar es 1 (puedes ver un gráfico en la figura 9-2). Casi todos sus valores (el 99,7% aproximadamente) se encuentran entre –3 y +3, según la regla empírica. Los valores de la distribución Z se llaman valores z, puntuaciones z o puntuaciones estándares. Un valor z representa el número de desviaciones estándares que un determinado valor está por encima o por debajo de la media. Por ejemplo, z=1 en la distribución Z representa un valor que se encuentra a una desviación estándar por encima de la media. De forma similar, z=–1 representa un valor que se encuentra una desviación estándar por debajo de la media (lo indica el signo negativo del valor z). Un valor z igual a 0 se encuentra (lo has adivinado) justo en la media. Todos los valores z se reconocen universalmente.

Si vuelves a consultar la figura 9-1 y los comentarios sobre dónde se encuentra el número 120 en cada una de las distribuciones normales, dentro del apartado “Fundamentos de la distribución normal”, ahora puedes calcular los valores z para tener una visión mucho más clara. En la figura 9-1a, el número 120 se encuentra una desviación estándar por encima de la media, de manera que su valor z es 1. En la figura 9-1b, el número 120 es igual a la media, de manera que su valor z es 0. En la figura 9-1c, el número 120 se encuentra tres desviaciones estándar por encima de la media, de manera que su valor z es 3.

No siempre es deseable que las puntuaciones estándar (valores z) sean altas. Por ejemplo, si estás midiendo el tiempo que tardas en dar una vuelta a la manzana corriendo, una puntuación estándar de +2 es mala porque significa que tu tiempo está dos desviaciones estándares por encima del tiempo medio (cuanto más alto es el tiempo, peor es la marca). En

este caso una puntuación estándar de –2 sería mucho mejor, pues indica un tiempo que está dos desviaciones estándares por debajo del tiempo medio (cuanto más bajo es el tiempo, mejor es la marca).

Normalizar de X a Z

Para hallar las probabilidades de una distribución continua tienes que determinar el área que hay bajo una curva (si dominas el cálculo, sabrás

que para eso hace falta integrar; si no dominas el cálculo, no te preocupes). Aunque trabajar con la campana de Gauss propia de una distribución normal parezca sencillo, el cálculo de áreas bajo esa curva requiere procedimientos matemáticos avanzados que pueden ser una auténtica pesadilla (y que escapan al alcance de este libro). Además, todas las distribuciones normales son diferentes, con lo que tienes que repetir este proceso cada vez que quieres encontrar una nueva probabilidad.

Para ayudarte a superar este obstáculo, los estadísticos hicieron todos los cálculos matemáticos para una distribución normal en concreto y elaboraron una tabla con todas sus probabilidades. ¿Adivinas qué distribución normal eligieron para hacer la tabla?

En efecto, todos los resultados básicos que necesitas para encontrar los valores de probabilidad de cualquier distribución normal (X) pueden reducirse a una sola tabla basada en la distribución normal estándar (distribución Z). Esta tabla se llama tabla Z y está incluida en el apéndice. Ahora ya sólo necesitas una fórmula que transforme los valores de una distribución normal (X) a la distribución Z; a partir de ahí podrás utilizar la tabla Z para encontrar cualquier probabilidad que quieras saber.

Convertir un valor x en un valor z se llama normalizar. La denominada “fórmula z” para convertir un valor x en un valor z es:

Coges el valor x, le restas la media de X y luego divides por la desviación estándar de X. De este modo obtienes la puntuación estándar correspondiente (valor z o puntuación z).

Normalizar es como cambiar de unidades (por ejemplo, de grados Fahrenheit a grados centígrados). No afecta a las probabilidades de X. Por eso precisamente puedes utilizar la tabla Z para hallar esas probabilidades.

Con la fórmula z puedes normalizar un valor x de cualquier distribución (no sólo de la normal). De manera similar, no todas las puntuaciones estándares provienen de una distribución normal.

Como para normalizar restas la media al valor x y luego divides todo por la desviación estándar, literalmente estás dejando fuera de la ecuación la media y la desviación estándar de X. Esto es lo que te permite comparar todo lo que haya en la escala desde –3 hasta +3 (la distribución Z), donde los valores negativos indican una posición por debajo de la media, los valores positivos indican una posición por encima de la media, y el valor 0 indica que estás exactamente en la media.

Además, normalizar permite comparar números de distribuciones diferentes. Por ejemplo, imagina que Roberto saca un 80 (sobre 100) en el examen de matemáticas (que tiene una media de 70 y una desviación estándar de 10) y también en el examen de lengua (que tiene una media de 85 y una desviación estándar de 5). ¿Qué examen le salió mejor, en términos relativos, teniendo en cuenta el resto de la clase?

Si normalizas la nota obtenida por Roberto en matemáticas (80), te sale un valor z de = 1. Por tanto, su nota en matemáticas está

una desviación estándar por encima de la media de la clase. Si normalizas la nota que ha sacado en lengua (80), te sale un valor z de = -1, que sitúa a Roberto una desviación estándar por debajo de la media de la clase. Aunque Roberto haya sacado una nota de 80 en los dos exámenes, en realidad el examen de matemáticas le fue mejor que el de lengua (en términos relativos).

Para interpretar una puntuación estándar no necesitas conocer la puntuación original, la media ni la desviación estándar. La puntuación estándar te dice la posición relativa de un valor, que en la mayoría de los casos es lo más importante. De hecho, en la mayoría de las pruebas que se hacen para valorar el rendimiento académico de los alumnos, cuando te dan los resultados no te dicen siquiera cuál era la media y la desviación estándar; simplemente te dan tu puntuación z para que sepas en qué lugar de la distribución te encuentras.

Encontrar probabilidades para Z con la tabla Z

La tabla Z (tabla A-1 del apéndice) muestra probabilidades “menor que” para una amplia gama de valores z. Para encontrar probabilidades para la distribución normal estándar (distribución Z), haz lo siguiente:

1. Ve a la fila que representa el dígito de la parte entera de tu valor z y el primer dígito tras la coma decimal.

2. Ve a la columna que representa el segundo dígito tras la coma decimal de tu valor z.

3. Busca la intersección entre fila y columna.

Este resultado representa p (Z <z), la probabilidad de que la variable aleatoria Z sea menor que el número z (o lo que es lo mismo: el porcentaje de valores z que son menores que el tuyo).

Por ejemplo, imagina que quieres encontrar p (Z<2,13). Vas a la tabla Z y buscas la fila correspondiente a 2,1 y la columna correspondiente a 0,03. En la intersección entre esa fila y esa columna encuentras la probabilidad 0,9834. Por tanto, p (Z<2,13)=0,9834.

Ahora pongamos que quieres encontrar p (Z<–2,13). Buscas la fila correspondiente a –2,1 y la columna correspondiente a 0,03. En la intersección de esa fila y esa columna se encuentra el valor 0,166. Por consiguiente, p (Z<–2,13) es 0,0166 (observa que esto es igual a uno menos la probabilidad de que Z sea menor que 2,13, ya que p (Z<+2,13) es 0,9834. Esto se cumple porque la distribución normal es simétrica. Encontrarás más información al respecto en el siguiente apartado).

Encontrar probabilidades para una distribución normal

Éstos son los pasos para encontrar una probabilidad cuando X tiene una distribución normal:

1. Haz un dibujo de la distribución.
2. Traduce el problema a uno de los siguientes: p (X<a), p (X>b) o p (a<X<b). Sombrea el área correspondiente en el dibujo.
3. Normaliza a (o b) a una puntuación z utilizando la fórmula z:
4. Busca la puntuación z en la tabla Z (la tabla A-1 del apéndice) y encuentra la probabilidad correspondiente.

(En el apartado “Normalizar de X a Z” encontrarás más información sobre la tabla Z.)

5a. Si necesitas una probabilidad “menor que”, es decir, p (X<a), ya has terminado.

5b. Si necesitas una probabilidad “mayor que”, es decir, p (X>b), resta a uno el resultado del paso 4.

5c. Si necesitas una probabilidad “entre dos valores”, es decir, p (a<X<b), sigue los pasos 1-4 para b (el mayor de los dos valores) y
otra vez para a (el menor de los dos valores), y resta un resultado al otro.

La probabilidad de que X sea igual a un único valor es 0 para cualquier variable aleatoria continua (como la normal). La razón es que las variables aleatorias continuas consideran la probabilidad como el área que hay bajo la curva, y no hay ningún área bajo una curva en un único punto. Esto no pasa con las variables aleatorias discretas.

Imagina, por poner un ejemplo, que visitas un acuario y te quedas extasiado delante de un estanque de peces tropicales de colores, que tienen una distribución normal, con una media μ=16 centímetros y una desviación estándar σ=4 centímetros.

Problema 1: ¿Cuál sería la probabilidad de atrapar un pez pequeño, digamos de menos de 8 centímetros?

Problema 2: Supongamos que la organización quiere pasar los peces de más de 24 centímetros a otro estanque. ¿Cuál es la
probabilidad de atrapar uno de estos especímenes?

Problema 3: ¿Cuál sería la probabilidad de atrapar un pez de entre 16 y 24 centímetros?

Para resolver estos problemas siguiendo los pasos anteriores, empieza por dibujar la distribución normal que nos ocupa. La figura 9-3 muestra un gráfico de la distribución de X para las longitudes de los peces. Puedes ver dónde se encuentran los números de interés (8, 16 y 24).

A continuación, traduce cada problema a la notación de probabilidad. El problema 1 en realidad te está pidiendo que encuentres p (X<8). Para el problema 2 quieres saber p (X>24). Y el problema 3 busca p (16<X<24).

El paso 3 te dice que conviertas los valores x en valores z utilizando la fórmula z:

Para el problema 1 te queda lo siguiente:

De forma similar, en el problema 2, p(X>24) se convierte en

Y en el problema 3, p (16<X<24) se convierte en

La figura 9-4 muestra una comparación entre la distribución X y la distribución Z para los valores x=8, 16 y 24, que al normalizarse pasan a ser z=–2, 0 y +2, respectivamente.

Ahora que ya has convertido los valores x en valores z, continúas con el paso 4 y encuentras (o calculas) las probabilidades para esos valores z utilizando la tabla Z (incluida en el apéndice). En el problema 1 del ejemplo de los peces, quieres saber p (Z<–2), así que vas a la tabla Z, buscas la fila correspondiente a –2,0 y la columna correspondiente a 0,00, buscas la intersección entre ellas, y al final obtienes 0,0228. Según el paso 5a, ya has terminado. La probabilidad de pescar un pez de menos de 8 centímetros es igual a 0,0228.

El problema 2 te pide que encuentres p (Z> 2,00). Como buscas una probabilidad del tipo “mayor que”, hay que seguir el paso 5b. Para poder utilizar la tabla Z, tienes que reformular esto con una expresión del tipo “menor que”. Como la probabilidad total para la distribución Z es igual a 1, sabemos que p (Z>2,00)=1–p (Z<2,00)=1–0,9772=0,0228 (utilizando la tabla Z). Por tanto, la probabilidad de que un pez mida más de 24 centímetros también es 0,0228. (Nota: las respuestas a los problemas 1 y 2 son iguales porque la distribución Z es simétrica; consulta la figura 9-3.)

El problema 3 te pide que encuentres p (0<Z<2,00), y para eso hay que aplicar el paso 5c. Primero encuentras p (Z<2,00), que según la tabla Z es 0,9772. A continuación encuentras p (Z<0), que según la tabla Z es 0,5000. Si restas un valor del otro, 0,9772–0,5000=0,4772. La probabilidad de pescar un pez que mida entre 16 y 24 centímetros es 0,4772.

La tabla Z no contiene todos los valores posibles de Z, sino que llega tan sólo a los dos primeros dígitos tras la coma decimal. Utiliza el más próximo al que necesites. Igual que en un avión puede que la salida más próxima esté detrás de ti, puede que el valor z más próximo sea el que es inferior al que tú necesitas.

Encontrar X cuando conoces el porcentaje

Otro problema común sobre distribuciones normales consiste en encontrar percentiles para X (en el capítulo 5 hallarás una explicación detallada sobre los percentiles). Es decir, te dicen el porcentaje o probabilidad de estar en un determinado valor x, o por debajo de él, y tú tienes que encontrar el valor x correspondiente. Por ejemplo, si sabes que los golfistas cuyas tarjetas de puntuación estaban dentro del 10% con menos golpes consiguieron el pase al torneo, quizá te preguntes cuál era la puntuación de corte. Esa puntuación representa el percentil 10.

Un percentil no es un porcentaje. Un porcentaje es un número entre 0 y 100, mientras que un percentil es un valor de X (una altura, un coeficiente intelectual, una nota de examen, etc.).

Determinar un percentil para una distribución normal

Ciertos percentiles son tan populares que tienen sus propios nombres y su propia notación. Los tres percentiles “bautizados” son Q 1 (el primer cuartil, o percentil 25), Q 2 (el segundo cuartil, también llamado mediana o percentil 50) y Q 3 (el tercer cuartil o percentil 75). Encontrarás más información sobre los cuartiles en el capítulo 5.

Éstos son los pasos para encontrar cualquier percentil para una distribución normal X:

1a. Si la probabilidad (porcentaje) que te dicen es la probabilidad menor que x y tú tienes que encontrar x, lo traduces como:
encuentra a si p(X<a)=p (y p es la probabilidad que te dicen). Es decir, encuentra el percentil p para X. Ve al paso 2.

1b. Si la probabilidad (porcentaje) que te dicen es la probabilidad mayor que x y tú tienes que encontrar x, lo traduces como:
encuentra b cuando p(X>b)=p (y p es la probabilidad que te dicen). Reformúlalo como un problema de percentiles (del tipo
“menor que”): encuentra b si p(X<b)=1–p. Es decir, encuentra el percentil (1–p) para X.

2. E ncuentra el percentil correspondiente para Z. Para ello, busca en el cuerpo de la tabla Z (incluida en el apéndice) la probabilidad que esté más cerca de p (para el paso 1a) o de 1–p (para el paso 1b). Busca la fila y la columna donde esté esa probabilidad (utilizando la tabla al revés). Ése es el valor z deseado.
3. Vuelve a convertir el valor z a un valor x (unidades originales) utilizando x=μ+zσ. Ya tienes (¡por fin!) el percentil deseado para

La fórmula indicada en este paso no es más que una manera distinta de escribir la fórmula , despejando la x.

Un problema de percentil bajo

Volvamos al ejemplo de los peces utilizado anteriormente en el apartado “Encontrar probabilidades para una distribución normal”, en la que las longitudes (X) de los peces de un acuario tienen una distribución normal con una media de 16 centímetros y una desviación estándar de 4 centímetros. Imagina que quieres saber qué longitud determina el 10% de peces más pequeños. ¿Qué percentil estás buscando?

Estar en el 10% más bajo significa que tienes una probabilidad “menor que” igual al 10%, y estás en el percentil 10.

Ahora ve al paso 1a del apartado anterior y traduce el problema. En este caso, como se trata de una situación del tipo “menor que”, quieres encontrar x de forma que p(X<x)=0,10. Esto representa el percentil 10 para X.

La figura 9-5 representa gráficamente esta situación.

Ahora ve al paso 2, donde pone que debes encontrar el percentil 10 para Z. Si miras en el cuerpo de la tabla Z (en el apéndice), la probabilidad que está más cerca de 0,1 es 0,1003, situada en la intersección de la fila correspondiente a z=–1,2 y la columna correspondiente a 0,08. Por tanto, el percentil 10 para Z es –1,28; de manera que un pez cuya longitud esté a 1,28 desviaciones estándares por debajo de la media determinará el 10% de peces más pequeños (de entre todos los que hay en el estanque).

Pero ¿qué longitud tiene ese pez exactamente, en centímetros? En el paso 3 vuelves a convertir el valor z en un valor x (longitud en centímetros): utilizando la fórmula z con la x despejada, obtienes x=16+–1,28×4=10,88 centímetros. Así pues, 10,88 centímetros es la longitud que determina el 10% de peces más pequeños. El 10 % de los peces del estanque miden menos que este valor.

Trabajar con un percentil alto

Ahora imagina que quieres saber qué longitud determina el 25% de peces más grandes en ese mismo estanque. Para resolver este problema tienes que seguir el paso 1b (del apartado “Determinar un percentil para una distribución normal”), ya que estar en la parte más alta de la distribución significa que estás buscando una probabilidad “mayor que”. El número que buscas está en algún lugar de la cola derecha (la parte más alta) de la distribución X, con p=25% de la probabilidad a su derecha y 1–p=75 % a su izquierda. Pensando en términos de la tabla Z, que únicamente utiliza probabilidades del tipo “menor que”, tienes que encontrar el percentil 75 para Z y luego convertirlo a un valor x.

Paso 2: el percentil 75 de Z es el valor z para el que p(Z<z)=0,75. Utilizando la tabla Z (incluida en el apéndice), vemos que la probabilidad más próxima a 0,7500 es 0,7486, y el valor z correspondiente es la intersección de la fila para 0,6 y la columna para 0,07. Si juntas ambos, te sale un valor z de 0,67. Éste es el percentil 75 para Z. En el paso 3 vuelves a convertir el valor z en un valor x (longitud en centímetros): utilizando la fórmula z con la x despejada, obtienes x=16+0,67×4=18,68 centímetros. Así pues, el 75% de los peces del estanque miden menos que 18,68 centímetros. Y para responder a la pregunta original, el 25% de peces más grandes del estanque miden más de 18,68 centímetros.

Problemas de percentiles difíciles de interpretar

Algunos problemas de percentiles son especialmente difíciles de interpretar. Por ejemplo, supongamos que el tiempo que tarda un caballo de carreras en dar una vuelta al hipódromo en una ronda de clasificación tiene una distribución normal con una media de 120 segundos y una desviación estándar de 5 segundos. Se clasifican el 10% de tiempos mejores, y el resto quedan fuera. ¿Cuál es el tiempo de corte para la clasificación?

Puesto que los mejores tiempos son los tiempos más bajos, el porcentaje de tiempos que están por debajo del corte debe ser 10, y el porcentaje de tiempos por encima del corte debe ser 90 (es fácil confundirse y pensar lo contrario). Por tanto, el percentil de interés es el 10, que es un valor bajo situado en la cola izquierda de la distribución. Ahora ya puedes resolver este problema igual que el problema 1 sobre longitudes de peces (está en el apartado “Encontrar probabilidades para una distribución normal”). En la tabla Z (incluida en el apéndice) vemos que la puntuación estándar para el percentil 10 es z=–1,28. Si convertimos de nuevo a unidades originales, tenemos que x=μ+zσ=120+(–1,28)(5)=113,6 segundos. Por consiguiente, el tiempo de corte para que se clasifique un caballo de carreras (es decir, para estar entre el 10% de caballos más rápidos) es 113,6 segundos (observa que este número es inferior al tiempo medio de 120 segundos, lo cual tiene sentido; esto se debe a que el valor z es negativo).

El percentil 50 para la distribución normal es la media (debido a la simetría) y su puntuación z es cero. Los percentiles pequeños, como el 10, se encuentran por debajo de la media y tienen puntuaciones z negativas. Los percentiles grandes, como el 75, se encuentran por encima de la media y tienen puntuaciones z positivas.

Aquí tienes otro ejemplo de problema que podría despistarte un poco: imagina que el tiempo necesario para hacer un examen de estadística tiene una distribución normal, con una media de 40 minutos y una desviación estándar de 6 minutos. El tiempo de Vicente está en el percentil 90. ¿Qué porcentaje de alumnos continúan haciendo el examen cuando Vicente termina? Como Vicente está en el percentil 90, el 90% de los alumnos tardan menos que él en hacer el examen. Eso significa que el 90% de los alumnos entregan antes que Vicente, de manera que 100– 90=10% de los alumnos continúan haciendo el examen cuando Vicente termina.

Para darte cuenta de que se trata de un problema de percentiles, busca pistas en el enunciado, por ejemplo que se mencione “el 10% más bajo” (también conocido como el percentil 10) o “el 10% más alto” (también conocido como el percentil 90). Si te hablan del 10% “mejor”, tendrás que determinar si corresponde a las cifras más altas o a las más bajas.

Aproximación normal a la distribución binomial

Imagina que lanzas una moneda al aire 100 veces y X es el número de caras. ¿Cuál es la probabilidad de que X sea mayor que 60? En el capítulo 8 resolvimos problemas de este tipo (aunque con menos lanzamientos) utilizando la distribución binomial. Para los problemas binomiales en que n (el número de intentos) es pequeño, puedes utilizar la fórmula directa (la encontrarás en el capítulo 8) o la tabla binomial (la encontrarás en el apéndice), o bien recurrir a la tecnología, si está disponible (por ejemplo una calculadora gráfica o un programa de hoja de cálculo).

Sin embargo, cuando n es grande los cálculos se vuelven muy farragosos y la tabla binomial se queda sin números. Si no tienes a mano una herramienta tecnológica (como cuando estás haciendo un examen), ¿qué puedes hacer para encontrar una probabilidad binomial? Pues resulta que si n es suficientemente grande, puedes utilizar la distribución normal para obtener una respuesta muy aproximada con mucho menos trabajo.

Pero ¿qué quiero decir con que n sea “suficientemente grande”? Para determinar si n es suficientemente grande como para utilizar lo que los estadísticos denominan aproximación normal a la probabilidad binomial, deben cumplirse las dos condiciones siguientes:

n×p ≥ 10 (mayor o igual que 10), donde p es la probabilidad de éxito.

n×(1–p) ≥ 10 (mayor o igual que 10), donde 1–p es la probabilidad de fracaso.

Para encontrar la aproximación normal a la distribución binomial cuando n es grande, sigue los pasos siguientes:

1. Asegúrate de que n es suficientemente grande como para utilizar la aproximación normal (comprueba si se cumplen las dos condiciones).

Para la pregunta sobre lanzamientos de una moneda, las condiciones se cumplen porque n×p=100×0,50=50, y n×(1–p)=100×(1–0,50)=50,
y ambos valores son mayores o iguales que 10. Por tanto, puedes utilizar la aproximación normal.

2. Expresa el problema en términos de la probabilidad de X.

En el ejemplo de la moneda, tienes que encontrar p(X>60).

3. Normaliza el valor x a un valor z utilizando la fórmula z:

Para la media de la distribución normal, utiliza μ=np (la media de la distribución binomial), y para la desviación estándar σ, utiliza
(la desviación estándar de la distribución binomial; puedes volver al capítulo 8).

En el ejemplo de la moneda, utiliza μ=np=(100)(0,50)=50 y. Si ahora metes esos valores en la fórmula

z, resulta. Para resolver el problema tienes que encontrar p(Z>2).

Si en un examen te ponen un problema binomial, no te darán μ ni σ. Sin embargo, conoces las fórmulas que te permiten calcular ambos
estadísticos utilizando n y p (ambas te las darán en el problema). Simplemente tienes que acordarte de calcular μ y σ (las necesitas para la
fórmula z).

4. Continúa igual que para cualquier distribución normal. E s decir, sigue los pasos 4 y 5 descritos en el apartado anterior “Encontrar probabilidades para una distribución normal”.

Siguiendo con el ejemplo, en la tabla Z (incluida en el apéndice) vemos que p(Z>2,00)=1–0,9772=0,0228. Por consiguiente, la probabilidad
de que salgan más de 60 caras al lanzar una moneda 100 veces es de tan sólo un 2,28 % aproximadamente (yo no apostaría a favor).

Cuando utilizas la aproximación normal para encontrar una probabilidad binomial, la respuesta es una aproximación (no es exacta). Asegúrate de

mencionarlo. Indica también que has comprobado las dos condiciones necesarias para utilizar la aproximación normal.